Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 167
Problema 89 Se define el centro de curvatura C en un punto (a,b) de una curva como el extremo del vector −rn
trasladado al punto (a,b), donde r es el radio de curvatura. La circunferencia de radio r centrada en C es tangente
a la curva en el punto (a,b) (tiene el mismo vector tangente) y recibe el nombre de circunferencia osculatriz.
Se puede demostrar que las coordenadas, (α,β) del centro de curvatura de la gráfica de una función y = f(x)
dos veces derivable y de curvatura no nula en (a,b) son
α = a − f ′ (a) 1 + f ′ (a) 2
f ′′ (a) 2
β = b + 1 + f ′ (a) 2
f ′′ (a) 2
Usar estas fórmulas para hallar la circunferencia osculatriz a las siguientes curvas en los puntos que se indican:
y = x 2 en el punto (1,1).
y = tg x en (π/4,1).
x(t) = t 2 ,y(t) = t 3 en t = 1.
y = x 2 en el punto (1,1); y ′ = 2x, y ′′ = 2:
√
1 + 4 5
α = 1 − 2 = 1 −
4 2
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
β = 1 +
1 + 4
4
= 1 −
√ 5
4