Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series funcionales 133
Problema 70 Aplicar la identidad de Parseval al desarrollo en serie de Fourier de la función de periodo 2π dada
por f(x) = |x|, |x| ≤ π.
En el ejercicio 8 obtuvimos la serie de Fourier de la función f:
Dado que
cos(2k + 1)x
π(2k + 1) 2
≤
f(x) = π
2 +
∞
k=0
1
π(2k + 1) 2 y la serie
podemos aplicar la identidad de Parseval:
De donde se deduce que:
∞
k=0
π 2
2 +
∞
k=0
4
cos(2k + 1)x
π(2k + 1) 2
∞
1
π(2k + 1) 2 es convergente, la convergencia es absoluta y
n=0
1 π4 2 1
(2k + 1) 4 = π − .
16 3 2
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
16
π2 π
= x
(2k + 1) 4
−π
2 dx = 2
3 π3