Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 392
Deducción del error del método de los trapecios. Primero estudiaremos el error cometido en la aproximación del
área en cada subintervalo. Este error puede ser expresado como
E =
x1
x0
f(x)dx − h
f(x0) + f(x1)
2
a) Supongamos que f ′′ es continua en [a,b] y consideremos el error como función de la distancia h entre x0 y x1,
E(h) =
x0+h
x0
f(x)dx − h
f(x0) + f(x0 + h)
2
Usando el teorema fundamental del cálculo, obténgase la segunda derivada de E respecto de h,
E ′′ (h) = − h
′′
f (x0 + h)
2
b) Compruébese que E(0) = E ′ (0) = 0, por lo que tomando integrales en ambos miembros de la igualdad anterior
obtenemos
E ′ (h) = E ′ (0) − 1
2
h
0
tf ′′ (x0 + t)dt
que, por el segundo teorema del valor medio para integrales, puede expresarse como
para algún ξ ∈ [x0,x0 + h].
E ′ (h) = − 1
2 f ′′ (ξ)
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
h
0
t dt = − h2
4 f ′′ (ξ)