Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 394
a)
E(h) =
x0+h
x0
f(x)dx − h
f(x0) + f(x0 + h)
2
E ′ (h) = f(x0 + h) − 1
2 (f(x0) + f(x0 + h)) − h
2 f ′ (x0 + h)
= 1
2 (f(x0 + h) − f(x0)) − h
2 f ′ (x0 + h)
E ′′ (h) = 1
2 f ′ (x0 + h) − 1
2 f ′ (x0 + h) − h
2 f ′′ (x0 + h) = − h
2 f ′′ (x0 + h)
b) Es inmediato que E(0) = E ′ (0) = 0. Tomando integrales en ambos miembros de la igualdad del apartado (a)
obtenermos:
h
E ′′ (t)dt =
h
0
0
E ′ (h) − E ′ (0) = − 1
h
2 0
− t
2 f ′′ (x0 + t)
− t
2 f ′′ (x0 + t)
Efectivamente, por el segundo teorema del valor medio se deduce que existe algún punto ξh ∈ [x0,x0 + h] tal
que:
E ′ (h) = − 1
2 f ′′ (ξh)
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
h
0
t dt = − h2
4 f ′′ (ξh)