Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 543
Problema 275 Hallar el centro de masas del disco determinado por (x − 1) 2 + y 2 ≤ 1 si la densidad es x 2 .
(Ver el problema anterior) Para resolver las integrales del ejercicio vamos a utilizar el siguiente cambio de
variable:
(x,y) → g(r,θ) = (1 + r cos θ,r sen θ) |Jg(r,θ)| = r
La función g transforma rectángulos [0,c] × [0,2π] en círculos (x − 1) 2 + y 2 ≤ c 2 .
Las tres integrales necesarias para hallar las coordenadas ¯x e ¯y del centro de masas son:
2π 1
xρ(x,y)dxdy = (1 + r cos θ)(1 + r cos θ) 2 r dr dθ
R
R
yρ(x,y)dxdy =
0
=
0
2π
0
1 2π
0
0
1 1
+
2 4 cos3 θ + cos 2 θ + 3
cos θ dθ = 2π
2
r sen θ(1 + r cos θ) 2 r dθ dr = 0
(Obsérvese que en cada caso optamos por el orden de integración atendiendo a la simplicidad del cálculo de la
primitiva correspondiente).
2π 1
ρ(x,y)dxdy = (1 + r cos θ) 2 2π
r dr dθ = ( 1 1
+
2 4 cos2 θ + 2 5
cos θ)dθ =
3 4 π
R
Por tanto: ¯x = 2π 4
5π
8
= , ¯y = 0.
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Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
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