Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 388
(en la última desigualdad hemos utilizado que √ 2 + 1 < 3). Por tanto, para obtener un error menor que 10 −3
tenemos que tomar el primer natural n que verifique
1
64n 2 < 10−3 , es decir n = 4.
Método de Simpson: Para una partición regular de n puntos, existe un c ∈ (1/2,1) tal que el error cometido
al tomar la fórmula de Simpson como valor de la integral es:
(b − a)5
En =
180n4 f(4) 1
(c) =
25180n4 √
cos c
16c2 − 3sen √ c
8c2√c − 15cos √ c
16c3 + 15sen √ c
16c3√
c
En este caso, dado que 1 < 1
c < 2, podemos dar la siguiente acotación del error:
ǫ = |En| ≤
1
25180n4
cos √ c
16c2
+
3sen
√ c
8c2√
c +
15cos
√ c
16c3
+
15sen
√ c
16c3√ ≤
c
1
25180n4
4
16 + 3 · 22√2 +
8
15 · 23
16 + 15 · 23√
2
16
= 31 + 36√2 4 · 25 1
180n4 <
281n4 Por tanto, para obtener un error menor que 10 −3 tenemos que tomar el primer natural n que verifique
1
281n 4 < 10−3 , es decir n = 2.
Este ejercicio muestra como la fórmula de Simpson da un buena aproximación de la integral; con particiones no
muy finas, se consiguen errores pequeños. El método de los trapecios necesita particiones más finas para conseguir
estimaciones parecidas.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde