Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

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El cuerpo de los números complejos 21 Problema 14 Deducir las siguientes expresiones para las funciones inversas de las funciones hiperbólicas: arg senh x = log(x + x 2 + 1) arg cosh x = log(x + x 2 − 1) La función cosh no es inyectiva, ya que cosh x = cosh −x. Por lo tanto, la función arg cosh x podría tomar dos valores para cada x; el valor que se considera en la definición de dicha función es el positivo. Por otra parte, si la función la consideramos definida sobre los números complejos, las expresiones anteriores son válidas, pero los posibles valores del logaritmo son infinitos; en este caso, la definición de las funciones inversas se hace tomando los valores principales del logaritmo. Deducir una expresión para la función arg cosh se reduce a despejar y en función de x en la expresión e z + e −z Multiplicando por 2e z , la igualdad anterior se convierte en la siguiente ecuación de segundo grado en e z : 2 = x e 2z − 2e z x + 1 = 0 Cuyas soluciones son ez = 2x ± √ 4x2 − 4 = x± 2 √ x2 − 1. De donde obtenemos la solución propuesta en el enunciado: arg cosh x = log(x + √ x2 − 1). Debemos observar que, efectivamente, la otra solución coincide con esta, pero con signo contrario: log(x − x2 − 1) = log x2 − (x2 − 1) x + √ x2 − 1 = − log(x + x2 − 1) Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
El cuerpo de los números complejos 22 El desarrollo para obtener la expresión para arg senhx es similar obteniendo como solución: e z = x ± x 2 + 1 Hay que observar no obstante, que la solución e z = x − √ x 2 + 1 no tiene sentido si trabajamos solo con números reales, pero sí en el caso de considerar números complejos. La función arg senh se define entonces como: arg senhx = log(x + √ x 2 + 1). Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
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