Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 502
Problema 255 Sea R = [−1,1] × [2,4] y
sea f(x,y) = x(1 + y). Esbozar el grafo de f sobre R. Usar la simetría
para deducir que el valor de la integral f(x,y)dxdy debe ser cero.
R
5
0
Plano
XY
-5
-1
-0.5
0
0.5
La gráfica de esta función es fácil de imaginar teniendo en cuenta que, haciendo x constante, la gráfica resulta una
recta (es decir, las secciones de la gráfica con planos X = x0 son rectas) y lo mismo ocurre si hacemos y constante.
Dado que f(−x,y) = −f(x,y), se verifica que la gráfica de f es simétrica respecto del eje OX. La región R
también es simétrica respecto del eje OX, y concluimos que el volumen que queda entre la gráfica y el plano XY
(por debajo) en la región [−1,0] × [2,4] es el mismo que el volumen que queda entre la gráfica y el plano XY (por
encima) en la región [0,1] × [2,4]; de todo esto, deducimos que efectivamente la integral es 0.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
1 2
2.5
3
4
3.5