Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 44
3. Aplicamos el criterio de Stöltz-Cesaro:
lím
a1 + a2
an + · · · +
2 n
= lím
log n
an+1
n + 1 (∗)
= lím
log(n + 1) − log n
an+1
n
= lím
log(n + 1) − log n
log
an+1
n + 1
n
n = ℓ
En la igualdad (∗) hemos aplicado un equivalencia de infinitos (ej. 17); dado que el último límite existe, la
aplicación del criterio de Stöltz-Cesaro es correcta.
4. Aplicamos el criterio de Stöltz-Cesaro:
lím a1 + 2a2 + · · · + nan
n 2
= lím
(n + 1)an+1
(n + 1) 2 − n 2
(∗)
= lím (n + 1)an+1
2n
En la igualdad (∗) hemos aplicado un equivalencia de infinitos (ej. 17); además, dado que el último límite
existe, la aplicación del criterio de Stöltz-Cesaro es correcta.
5. Aplicamos el criterio de Stöltz-Cesaro:
lím ea1 + e a2/2 + · · · + e an/n − n
log(n + 1)
= ℓ
2
= lím ean+1/(n+1) − n − 1 + n
log(n + 2) − log(n + 1) = lím ean+1/(n+1) − 1
log n+2
(∗)
= lím
n+1
En la igualdad (∗) hemos aplicado un equivalencia de infinitésimos; dado que el último límite existe, la
aplicación del criterio de Stöltz-Cesaro es correcta.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
an+1
n+1
1
n+1
= ℓ