Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Optimización no-lineal 313
Problema 163 Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar las dimensiones del rectángulo de
mayor área que puede inscribirse en la elipse x 2 /16 + y 2 /9 = 1 con los lados paralelos a los ejes coordenados.
(El ejercicio 4.42 resuelve este mismo problema usando funciones en una variable) La condición de que los lados
del rectángulo son paralelos a los ejes coordenados, nos reduce el problema a localizar el vértice (x,y) del rectángulo
que esta en el primer cuadrante; es decir, podemos suponer que x ≥ 0 e y ≥ 0. Por otra parte, si (x,y) es el vértice
del rectángulo y dado que la elipse y el rectángulo están centrados en el origen, el área del rectángulo es A = 4xy.
Por tanto, para resolver el problema, tenemos que encontrar el máximo de la función f(x,y) = xy con la restricción
g(x,y) = (x/4) 2 + (y/3) 2 = 1. La función lagrangiana asociada a este problema es
L(x,y,λ) = xy − λ((x/4) 2 + (y/3) 2 − 1);
y el sistema de ecuaciones que nos da los puntos críticos es:
(x/4) 2 + (y/3) 2 − 1 = 0
y − 1
λx = 0
8
x − 2
λy = 0
9
La única solución positiva del sistema es el punto ( √ 8,3/ √ 2) con λ = 6. Para comprobar que efectivamente este
punto es máximo, consideramos la función
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
F(x,y) = L(x,y,6) = xy − 6((x/4) 2 + (y/3) 2 − 1)