Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

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Cálculo en varias variables 263 c) x 5 + 4xy 3 − 3y 5 = 2, P0(1,1); D1f(x,y) = 5x + 4y 3 Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde D2f(x,y) = 12xy 2 + 15y 4 Recta: 9(X − 1) + 27(Y − 1) = 0
Cálculo en varias variables 264 Problema 135 La fuerza gravitacional ejercida sobre un objeto de masa m situado en el punto (x,y,z) por un objeto de masa M situado en el origen es, por la ley de la gravitación universal, F = GMm r 3 r donde r = xi + yj + zk y r = ||r||. Comprobar que R = −∇V para algún campo escalar V (V recibe el nombre de potencial gravitacional) y comprobar también que F es ortogonal a las superficies de nivel de V . (Indicación: comprobar primero que ∇(1/r) = −(1/r 3 )r). La indicación nos dice quien es la función potencial; considerando tenemos que: f(r) = f(x,y,z) = − 1 r 1 = − x2 + y2 + z2 D1f(x,y,z) = x(x 2 + y 2 + z 2 ) −3/2 = x r 3 D2f(x,y,z) = y(x 2 + y 2 + z 2 ) −3/2 = y r 3 D3f(x,y,z) = z(x 2 + y 2 + z 2 ) −3/2 = z r 3 Por tanto, V (x,y,z) = − GMm √ . El hecho de que F = −∇V sea ortogonal a las superficies de nivel de V es una x2 +y2 +z2 propiedad fundamental del vector gradiente. Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
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