Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Optimización no-lineal 303
y su única solución es el punto (−1/8,1/4,1/2) con λ = −3/4. Con una simple mirada a las gráficas de la recta y
la parábola podemos concluir que efectivamente esta es la solución del problema, pero vamos a deducirlo usando el
polinomio característico. Consideramos la función
La matriz hessiana de esta función es:
F(x,y,z) = L(x,y,z, −3/4) = (y − x) 2 + (z − x − 1) 2 + (3/4)(z 2 − y)
El vector gradiente de g en (−1/8,1/4,1/2) es
El polinomio característico en dicho punto es:
p(λ) =
0 Jg(a)
Jg(a) t HF1(a) − λI
HF(x,y,z) =
⎛
⎜
⎝
4 −2 −2
−2 2 0
−2 0 7/2
∇g(−1/8,1/4,1/2) = (0, −1,1)
=
⎞
⎟
⎠
0 0 −1 1
0 4 − λ −2 −2
−1 −2 2 − λ 0
7
1 −2 0 2 − λ
= −2(t 2 − 27
λ + 6)
2
y en consecuencia, efectivamente, el punto es un mínimo. Teniendo en cuenta el significado de la función f que
hemos utilizado, hemos obtenido que los puntos (−1/8,7/8) y (1/4,1/2) son los puntos de la recta y de la parábola
respectivamente, más próximos.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde