Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series funcionales 142
π
= 1
(sen(x + nx) − sen(nx − x))dx
π 0
π
π 1
1
= − cos(n + 1)x − − cos(n − 1)x
(n + 1)π 0 (n − 1)π 0
= − (−1)n+1
(n + 1)π +
1 (−1)n−1
+
(n + 1)π (n − 1)π −
1
(n − 1)π
= 2 (−1)n+1
π(n2 1
− 2
− 1) π(n2 − 1)
Por tanto, a2k+1 = 0 y a2k =
2. Del punto anterior deducimos que:
∞
k=0
− 4
π(4k 2 − 1)
senx = 2
π −
∞
k=1
para todo k ≥ 0 y la serie de cosenos de sen x es:
∞
k=1
1
4k2 = −1 +
− 1
4
π(4k2 cos 2kx x ∈ [0,π]
− 1)
1
4k2 1 π
cos 2kx = − sen x. Por lo tanto:
− 1 2 4
∞
k=1
3. La serie de cosenso de f converge uniformemente, ya que:
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
4
π(4k2 |cos 2kx| ≤
− 1)
1
4k2 1 π
= −1 + − sen0 = −1
− 1 2 4 2
4
π(4k 2 − 1)