Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 397
Problema 190 Deducción del error en el método de Simpson.
Los pasos a seguir en este problema son exactamente los mismos que en el problema anterior. Primero se
estudia el error cometido en cada par de subintervalos y, posteriormente, se obtiene la expresión general. El
error cometido en un par de subintervalos es
E =
x2
x0
f(x)dx − h
f(x0) + 4f(x1) + f(x2)
3
a) Supongamos que f (4) es una función continua. Fijemos x1 y consideremos el error como una función de
h del siguiente modo:
E(h) =
x1+h
x1−h
f(x)dx − h
f(x1 − h) + 4f(x1) + f(x1 + h)
3
usando el teorema fundamental del cálculo, y algo de paciencia, es posible obtener
E ′′′ (h) = − h
′′′
f (x1 + h) − f
3
′′′ (x1 − h) = − 2h2
3 f(4) (ξ)
donde la última igualdad es consecuencia de la aplicación del teorema del valor medio a la función f ′′′
sobre el intervalo [x1 − h,x1 + h].
b) Usar el segundo teorema del valor medio para integrales junto con el hecho de que R(0) = R ′ (0) = R ′′ (0) =
0 para obtener que
E(h) = − h5
90 f(4) (c)
para algún c ∈ [x1 − h,x1 + h].
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde