Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Cálculo en varias variables 247
Problema 124 Hallar la derivada de f en P0 y en la dirección del vector que se indica:
a) f = x 2 + y 2 , P0(1,0), i − j
b) f = cos xy, P0(2,π/4), 4i − j
c) f = x 2 + 2xy − 3y 2 , P0(1/2,1/2), √ 3i + j
d) f = xy + yz + zx, P0(1, −1,2), 10i + 11j − 2k
Las derivadas direccionales se calculan considerando vectores unitarios, por tanto, a partir de los vectores del
enunciado tomaremos vectores unitarios de su misma dirección y sentido. Por otra parte, todas las funciones son
derivables en los puntos señalados y por tanto, podemos usar la diferencial para hallar las derivadas direccionales:
a) f(x,y) = x 2 + y 2 , P0(1,0), v = (1, −1), u = ( 1
√ 2 , − 1
√ 2 ).
D1f(x,y) = 2x; D2f(x,y) = 2y; ∇f(1,0) = (2,0)
Duf(1,0) = ∇f(1,0) · ( 1
√ 2 , − 1
√ 2 ) = 1
√ 2
b) f(x,y) = cos xy, P0(2,π/4), v = (4, −1), u = ( 4
√ 17 , − 1
√ 17 ).
D1f(x,y) = −y sen xy D2f(x,y) = −xsenxy ∇f(2,π/4) = (− π
, −2)
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Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde