Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 59
c) “an es decreciente”: a partir de la desigualdad anterior demostramos este hecho fácilmente:
a 2 n
a2 n
2an
an
2
an
2
> 2
> 2
2an
1
>
an
+ an
2
an > an+1
1
> +
an
an
2
d) “an está acotada inferiormente”: volvemos a utilizar la desigualdad del segundo apartado: dado que
a 2 n > 2 > 1, an > 1.
De los dos últimos puntos se deduce que la sucesión an (decreciente y acotada) converge en R. Sea ℓ su límite;
entonces:
ℓ = ℓ 1
+
2 ℓ
de donde se deduce que ℓ 2 = 2.
Esta sucesión puede considerarse como un ejemplo de una sucesión (o conjunto) acotado que no tiene mínimo
en Q pero sí lo tiene en R.
El ejercicio se puede generalizar para demostrar que las raíz cuadrada de un número racional positivo es un
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde