Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 29
Problema 18 Usar el teorema de compresión para demostrar las siguientes propiedades:
1. Si f es una función acotada en un entorno abierto de a y lím
x→a g(x) = 0, entonces lím
x→a f(x)g(x) = 0.
2. Si an es una sucesión acotada y lím bn = 0, entonces lím anbn = 0.
1. Sea M tal que
Entonces:
|f(x)| < M para todo x ∈ (a − δ,a + δ)
−Mg(x) < f(x)g(x) < Mg(x) para todo x ∈ (a − δ,a + δ)
Dado que lím
x→a (−Mg(x)) = 0 = lím
x→a (Mg(x)), por el teorema de compresión deducimos que
lím f(x)g(x) = 0
x→a
2. Sea M tal que |an| < M. Entonces −Mbn < anbn < Mbn y, dado que lím(−Mbn) = 0 = lím(Mbn), deducimos
por el teorema de compresión que lím anbn = 0.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde