Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Cálculo en varias variables 256
Problema 130 En los siguientes apartados, determinar el plano tangente y la recta normal a la superficie dada en
el punto dado:
a) z = x 2 + y 2 , (3,4,25)
b) z = x/ x 2 + y 2 , (3, −4, 3
5 )
c) z = (x + y)/(xy − 1), (1,2,3)
d) y = 4 − x 2 − 4z 2 , (0,0,1)
En este ejercicio vamos a hallar planos y rectas tangentes a gráficas de funciones. Para ello, basta recordar que
el vector (D1f(x,y),D2f(x,y), −1) es un vector perpendicular a la gráfica de f en el punto (x,y).
a) z = x 2 + y 2 , (3,4,25). Es la gráfica de la función f(x,y) = x 2 + y 2
D1f(x,y) = 2x D2f(x,y) = 2y
Por tanto, el vector (6,8, −1) es perpendicular a la gráfica de f en (3,4,25); el plano tangente y la recta
normal son respectivamente:
6(X − 3) + 8(Y − 4) − (Z − 25) = 0
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
X − 3 = 6λ
Y − 4 = 8λ
Z − 25 = −λ