Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

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Integración 543 Problema 275 Hallar el centro de masas del disco determinado por (x − 1) 2 + y 2 ≤ 1 si la densidad es x 2 . (Ver el problema anterior) Para resolver las integrales del ejercicio vamos a utilizar el siguiente cambio de variable: (x,y) → g(r,θ) = (1 + r cos θ,r sen θ) |Jg(r,θ)| = r La función g transforma rectángulos [0,c] × [0,2π] en círculos (x − 1) 2 + y 2 ≤ c 2 . Las tres integrales necesarias para hallar las coordenadas ¯x e ¯y del centro de masas son: 2π 1 xρ(x,y)dxdy = (1 + r cos θ)(1 + r cos θ) 2 r dr dθ R R yρ(x,y)dxdy = 0 = 0 2π 0 1 2π 0 0 1 1 + 2 4 cos3 θ + cos 2 θ + 3 cos θ dθ = 2π 2 r sen θ(1 + r cos θ) 2 r dθ dr = 0 (Obsérvese que en cada caso optamos por el orden de integración atendiendo a la simplicidad del cálculo de la primitiva correspondiente). 2π 1 ρ(x,y)dxdy = (1 + r cos θ) 2 2π r dr dθ = ( 1 1 + 2 4 cos2 θ + 2 5 cos θ)dθ = 3 4 π R Por tanto: ¯x = 2π 4 5π 8 = , ¯y = 0. 5 Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde 0 0 0
Integración 544 Problema 276 Hállese el momento de inercia respecto al eje OX de la región acotada por el eje OX, la curva y = e x y las rectas x = 0, x = 1 sabiendo que la densidad en cada punto de la región viene dada por δ(x,y) = y + 1. El momento de inercia respecto al eje OX se calcula mediante la siguiente fórmula Ix = y 2 δ(x,y)dxdy Con los datos del enunciado tenemos: IX = 1 ex 0 0 y 2 (y + 1)dy dx = R 1 Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde 0 1 4 e4x + 1 3 e3x dx = − 25 1 + 144 3 e3 + 1 16 e4
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