Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

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El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 169 Problema 90 El conjunto de centros de curvatura de una curva dada recibe el nombre de evoluta de la curva, mientras que la curva dada es la involuta del conjunto de centros de curvatura. Una curva sólo tiene una evoluta, pero un conjunto de puntos puede tener muchas involutas: ¿cuál es la evoluta de una circunferencia?, ¿cuáles son las involutas de un punto? En el ejercicio ??, demostramos que la curvatura de una circunferencia en cada punto coincide con el radio de la circunferencia; de aquí se deduce que la evoluta de una circunferencia se reduce a un único punto: su centro. Por tanto, cualquier circunferencia centrada en el mismo punto, tendrá la misma evoluta, y estas serán todas las evolutas del punto. Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 170 Problema 91 Hallar una ecuación parametrizada para la evoluta de la parábola y = x 2 . Del ejercicio 89, se deduce que el centro de curvatura en el punto (t,t 2 ) es: 1 + 4t2 α(t) = t − 2t β(t) = t 2 + 4 1 + 4t2 4 = −2t 3 + 1 2 t = 2t 2 + 1 4 Estas ecuaciones dan la parametrización de la evoluta. En la figura mostramos las dos curvas juntas. Obsérvese que las paramétrizaciones de las dos curvas usan el mismo parametro, la primera coordenada del punto de la parábola. E interesante saber como se recorren las curvas y, para ello, indicamos con cabezas de flecha, la dirección en que se recorren, y mostramos como se localiza el centro de curvatura correspondiente a un punto de la parábola (el punto (x(1),y(1))). Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde t=1 t=1
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