Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

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Integración 433 c) y = √ x desde x = 1 a x = 3 alrededor del eje OX: 3 S = 2π √ x 1 + 1 dx = 4x 1 3 1 π √ 4x + 1 dx = π 6 (√ 13 3 − √ 5 3 ) d) x 2/3 +y 2/3 = a 2/3 para y ≥ 0 alrededor del eje OX. Según la figura del apartado (d) del ejercicio anterior, nos basta hallar el área de la superficie generada al girar la función f(x) = (a 2/3 −x 2/3 ) 3/2 con x ∈ [0,a] alrededor del eje OY , el área pedida será el doble de esta: S = 2 a 0 2πx(a/x) 1/3 dx = Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde 12 5 πa1/3x 5/3 a 0 = 12 5 πa2
Integración 434 Problema 210 Si un cono tiene una base de radio r y generatriz s, el área de su superficie es πrs. Derivar esta fórmula al girar el segmento de la recta y = (r/h)x desde x = 0 a x = h alrededor del eje OX. Comprobar el resultado obtenido usando el teorema de Pappus. Usando la fórmula dada en la sección ??, el área del cono es: h S = 2π 0 r h x 1 + r2 dx = π h2 r h sx2 h = πrs 0 El centro de gravedad del segmento y = (r/h)x, x ∈ [0,h], es ( h x 2 , 2 ), y por tanto, el teorema de Pappus nos dice que el área del cono es: Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde S = 2π r s = πrs 2
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