Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 506
(a) La región sobre la que estamos integrando es el semicírculo x 2 + y 2 ≤ 3 2 , y ≤ 0.
3 √ 9−x2 −3
0
x 2 + y 2 dy dx =
3 π
0
0
r r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θdθ dr
=
3 π
0
0
r 2 dθ dr =
3
0
πr 2 dr = 9π
(b) Dado que 2y − y 2 = 1 − (y − 1) 2 , se deduce que la región donde se integra es el cuadrante de la circuferencia
x 2 + (y − 1) 2 = 1 que verifica x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1. El cambio de variable que nos interesa en este caso es
(x,y) → g(r,θ) = (r cos θ,1 + r sen θ) |Jg(r,θ)| = r
La función g transforma rectángulos [0,c] × [0,2π] en círculos x 2 + (y − 1) 2 ≤ c 2 .
1
0
√ 2y−y 2
0
(1 − x 2 − y 2 1 0
)dxdy = r(1 − r
0 π/2
2 cos 2 θ − r 2 sen 2 θ)dθ dr
1 0
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
=
0
π/2
r(1 − r 2 )dθ dr =
1
0
π
2 r(1 − r2 )dr = π
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