Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 217
2. Si lím y(t) = ±∞ y lím x(t) = m ∈ R, la recta X = m es una asíntota vertical para la curva en t → t0.
t→t0
t→t0
3. Si lím y(t) = ±∞ y lím x(t) = ±∞, la curva puede tener una asíntota oblicua en t → t0. Si los límites
t→t0
t→t0
lím p(t) = m lím y(t) − mx(t) = n
t→t0
t→t0
existen y son números reales, entonces efectivamente tiene una asíntota: la recta Y = mX + n.
La recta Y = −X − 1 es una asíntota oblicua del Folio en t → −1:
lím
t→−1
2t − t4 = −1 lím
1 − 2t3 t→−1
3t2 3t
+ = −1
1 + t3 1 + t3 Simetrías. Identificar simetrías en una curva no es siempre sencillo, pero una vez hechos los primeros esbozos,
es posible intuir alguna u observar la imposibilidad de ellas. En caso de creer que la curva tiene alguna simetría,
debemos verificarlo.
En el ejemplo de Folio parece que tenemos una simetría respecto de la recta Y = X; para comprobarlo, tenemos
que demostrar que para cada valor del parámetro, t, existe otro valor, s, tal que (y(t),x(t)) = (x(s),y(s)) (cada
simetría se traducirá en una igualdad de este tipo)
3s2 3t 1 + t3 t
= ⇒ =
1 + s3 1 + t3 1 + s3 s2 ⎫
⎪⎬
⇒
3s 3t2 1 + t3 t2
= ⇒ =
⎪⎭
1 + s3 1 + t3 1 + s3 s
t t2 1
= ⇒ = t
s2 s s
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde