Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 69
Problema 37 Calcular los siguientes limites:
1. lím
2. lím
3. lím
1 · 4 · 7 · · · · · (3n − 2)
2 · 5 · 8 · · · · · (3n − 1)
k − m
k − m + 1
2k − m
· · ·
2k − m + 1
a(a + 1) · · · (a + (n − 1))
n!
kn − m
kn − m + 1
= a a+1
1 2 · · · a+(n−1)
n , 0 < a < 1
1 · 4 · 7 · · · · · (3n − 2)
1. Sea an =
2 · 5 · 8 · · · · · (3n − 1) y consideremos la sucesión bn construida rellenando los huecos en el denominador
y numerador de an:
bn =
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · · · · · (3n − 5) · (3n − 4) · (3n − 3) · (3n − 2)
2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · · · · · (3n − 4) · (3n − 3) · (3n − 2) · (3n − 1)
1
Por tanto, bn =
3n − 1 y es convergente a 0. Por otra parte, la sucesión bn se puede escribir como producto
de 3 sucesiones, bn = xnynzn:
xn = an =
1 · 4 · 7 · · · · · (3n − 2)
2 · 5 · 8 · · · · · (3n − 1) ; yn
2 · 5 · 8 · · · · · (3n − 4)
=
3 · 6 · 9 · · · · · (3n − 3) ; zn =
Estas tres sucesiones son convergentes, ya que son positivas y decrecientes:
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
3 · 6 · 9 · · · · · (3n − 3)
4 · 7 · 10 · · · · · (3n − 2)