Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 180
Problema 96 Compruébese que la astroide x(t) = acos 3 t, y(t) = asen 3 t es una hipocicloide en la que b = a/4.
Las fórmulas de Moivre nos dicen que:
cos 3θ = 4cos 3 θ − 3cos θ
sen 3θ = 3sen θ − 4sen 3 θ
De donde se obtiene que:
cos 3 θ = 1
(cos 3θ + 3cos θ)
4
sen 3 θ = 1
(3sen θ − sen 3θ)
4
Con estas fórmulas podemos reescribir las ecuaciones del astroide:
x(t) = acos 3 t = 3a
4
y(t) = asen 3 t = 3a
4
a
cos t + cos 3t
4
a
sen t − sen 3t
4
Y, efectivamente, las nuevas ecuaciones son las ecuaciones de una hipocicloide; a es el radio de la circunferencia fija
y y b = a
4
el radio de la circunferencia que rueda: (a − b) = 3a
4
y b−a
a
= −3
4 .
Obsérvese que no hemos parametrizado las curva de dos formas distintas, solo hemos transformado algebraicamente
las ecuaciones.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde