Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Ecuaciones diferenciales ordinarias 565
Problema 285 Utilizar la definición para calcular la trasformada de Laplace de la siguiente función y especificar
su dominio.
⎧
⎨−1
f(t) =
⎩1
si 0 < t < 1
si t ≥ 1
L {f(t)} =
+∞
+∞
0
e−st =
s
= e−s
s
e −st f(t)dt =
1
t=0
= 2e−s − 1
s
1
+ − e−st
s
1
− − lím
s t→+∞
+∞
0
+∞
−e −st dt +
t=1
e −st
s
− 1
s lím
t→+∞ e−st
− e−s
s
+∞
1
e −st dt
Si s = 0, la integral impropia e
1
−st dt = dt no converge; si s > 0, el límite lím
1
t→+∞ e−st es igual a +∞ y
por lo tanto la integral impropia no converge; si s < 0, el límite lím
t→+∞ e−st es igual a 0 y por lo tanto, la integral
impropia converge. En consecuencia, el dominio de la transformada de Laplace es (0,+∞) y:
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
L {f(t)} = 2e−s − 1
s