Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Optimización no-lineal 315
Problema 164 Hallar los valores máximo y mínimo de
La función lagrangiana asociada al problema es
f(x,y,z) = x − 2y + 5z en la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 30
L(x,y,z,λ) = x − 2y + 5z − λ(x 2 + y 2 + z 2 − 30)
El sistema de ecuaciones que nos da los puntos críticos es
x 2 + y 2 + z 2 − 30 = 0
1 − 2λx = 0
−2 − 2λy = 0
5 − 2λz = 0
Las soluciones de este sistema son los puntos (1, −2,5) con λ = 1/2 y (−1,2, −5) con λ = −1/2. Para clasificar los
puntos consideramos las funciones
F1(x,y,z) = L(x,y,z,1/2) = x − 2y + 5z − (1/2)(x 2 + y 2 + z 2 − 30)
F2(x,y,z) = L(x,y,z, −1/2) = x − 2y + 5z + (1/2)(x 2 + y 2 + z 2 − 30)
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde