Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 77
Problema 43
1. Demostrar que si R es una función racional y |r| = 1, entonces la serie
(Para el caso r = 1, ver el ejercicio 41.)
2. Demostrar que la serie
verifica:
n=1
∞
R(n)rn converge si y solo si |r| < 1.
∞
(−1) n P(n)
donde P es un polinomio de grado p y Q un polinomio de grado q
Q(n)
a) Si q − p ≥ 21 la serie converge absolutamente.
b) Si q − p = 1 la serie converge condicionalmente.
c) Si q − p ≤ 0 la serie diverge.
1. Supongamos que R(n) = P(n)
donde P es un polinomio de grado p y Q un polinomio de grado q. Entonces,
Q(n)
por el ejercicio 17 se verifica que:
lím
P(n)
nα − log |r|
= 0 si y solo si |r| < 1
Q(n) rn
λnp−q
= lím
(en = lím λ
) − log |r|
Además, en este caso la serie converge absolutamente, lo que se demuestra con el criterio del cociente:
lím
P(n + 1)Q(n)r
n+1
Q(n + 1)P(n)rn
= |r| < 1
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
e n
n=1