Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Cálculo en varias variables 240
Problema 121 Hallar D1f = ∂f/∂x y D2f = ∂f/∂y en las funciones siguientes:
a) f(x,y) = x 2 + y 2
b) f(x,y) = e x cos y c) f(x,y) = arctg (y/x);
d) f(x,y) = cosh (y/x) e) f(x,y) = y f) f(x,y) = 9 − x 2 − y 2
g) f(x,y) = x/(x 2 + y 2 x log y
) h) f(x,y) = (x + 2)(y + 3) i) f(x,y) = e
j) f(x,y) = tgh (2x + 5y) k) f(x,y) = log |sec xy + tg xy|
l) f(x,y) = 5xy−7x 2 −y 2 +3x−6y+2
Todas las funciones que aparecen en este ejercicio viene expresadas en términos de operaciones algebraicas entre
funciones elementales; por tanto, podemos obtener sus derivadas parciales derivando formalmente. Esto no ocurre
en el apartado f (ver nota en la página ??) y tendremos que calcular las parciales en los puntos donde se anula la
raíz usando la definición.
a) f(x,y) = x 2 + y 2 .
b) f(x,y) = e x cos y.
c) f(x,y) = arctg (y/x)
D1f(x,y) =
D1f(x,y) = 2x D2f(x,y) = 2y
D1f(x,y) = e x cos y D2f(x,y) = −e x sen y
− y
x 2
1 + y2
x 2
= − y
x 2 + y 2
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
D2f(x,y) =
1
x
1 + y2
x 2
=
x
x 2 + y 2