Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Cálculo en varias variables 251
Problema 127 ¿En qué dos direcciones se anula la derivada de f(x,y) = (x 2 − y 2 )/(x 2 + y 2 ) en P0(1,1)?
Hallamos en primer lugar el vector gradiente en el punto:
D1f(x,y) = 2x(x2 + y 2 ) − 2x(x 2 − y 2 )
(x 2 + y 2 ) 2
D2f(x,y) = −2y(x2 + y 2 ) − 2y(x 2 − y 2 )
(x 2 + y 2 ) 2
∇f(1,1) = (1, −1)
=
4xy 2
(x 2 + y 2 ) 2
= −2(x3 + y 3 )
(x 2 + y 2 ) 2
Para encontrar las direcciones en las que se anula la derivada basta buscar un vector v tal que (1, −1) · u = 0; las
direcciones buscadas serán u y −u. En este caso las direcciones se calculan fácilmente y son (1,1) y (−1, −1).
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde