Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 36
Problema 22 Aplicar el criterio de Stöltz-Cesaro para resolver los siguientes límites.
1. lím
3. lím
log n
n
2 + 4 + · · · + 2n
3 + 9 + · · · + 3 n
5. lím 1 32 (n + 1)n
n2(2 + + · · ·
2 nn−1 ) 6. lím
(log n)2
2. lím
n
4. lím 1p + 2p + · · · + np n p+1
log(1 · 2 · · · · · n)
n log n
log n log(n + 1) − log n n + 1
1. lím = lím = lím log = 0
n n + 1 − n
n
Dado que la sucesión an = n es creciente y divergente a infinito y, además, el último límite calculado existe,
la aplicación del criterio de Stöltz-Cesaro es correcta.
2. lím
(log n)2
n
= lím (log(n + 1)) 2 − (log n) 2
(Criterio de Stöltz-Cesaro)
= lím (log(n + 1) − log n)(log(n + 1) + log n) = lím
log
n + 1
n
= lím 1
log((n + 1)n) (Equivalencia de infinitésimos)
n
= lím log(n + 2)(n + 1) − log(n + 1)n
(Criterio de Stöltz-Cesaro)
log((n + 1)n)
(n + 2)(n + 1)
= lím log = log 1 = 0
(n + 1)n
Dado que la sucesión an = n es creciente y divergente a infinito y, además, el último límite calculado existe,
las aplicaciones del criterio de Stöltz-Cesaro son correcta.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde