Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Optimización no-lineal 309
Problema 161 Sea f un campo escalar, se dice que f es homogéneo de grado p si
f((λx1,...,λxn) = λ p f((x1,... ,xn) para todo λ ∈ R.
(a) Si f es diferenciable en ((x1,...,xn) demostrar que
x1D1f((x1,... ,xn) + · · · + xnDnf((x1,... ,xn) = pf((x1,... ,xn)
Esto se conoce como teorema de Euler para funciones homogéneas. (Indicación: para ((x1,... ,xn) fijo defínase
g(λ) = f((λx1,... ,λxn) y calcular g ′ (1).)
(b) Hallar p y verificar el teorema de Euler para el campo f(x,y,z) = x − 2y − √ xz para x,z > 0.
(c) Comprobar el teorema de Euler para el campo f(x,y) = log(x/y).
(a) Sigamos la indicación y consideremos g(λ) = f((λx1,... ,λxn) para una tupla fija ((x1,... ,xn). Para hallar la
derivada de g usamos la regla de la cadena:
Por tanto,
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
g ′ (λ) = x1D1f((λx1,... ,λxn) + · · · + xnDnf((λx1,...,λxn)
g ′ (1) = x1D1f((x1,...,xn) + · · · + xnDnf((x1,...,xn) (6.1)