Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Optimización no-lineal 302
Problema 158 Calcular la distancia mínima entre la recta y = x + 1 y la parábola y 2 = x.
Para plantear el problema vamos a utilizar un función que nos dé la distancia entre un punto de la recta y
cualquier otro punto: la distancia entre un punto de la recta, (x,x + 1), y otro punto del plano, (y,z), es:
d = (y − x) 2 + (z − x − 1) 2 ;
por tanto, para minimizar esta distancia, nos basta minimizar la función f(x,y,z) = (y −x) 2 +(z −x−1) 2 ; además,
como queremos encontrar la distancia mínima a la parábola y 2 = x, tenemos que minimizar la función f con la
condición g(z,y) = z 2 − y = 0 (¡cuidado con el nombre de las variables!).
La función lagrangiana asociada a este problema es
L(x,y,z,λ) = (y − x) 2 + (z − x − 1) 2 − λ(z 2 − y)
El sistema de ecuaciones que nos da los puntos críticos es
z 2 − y = 0
−2(y − x) − 2(z − x − 1) = 0
2(y − x) + λ = 0
2(z − x − 1) − 2zλ = 0
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde