Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 537
Problema 271 Un toro de masa m es generado cuando un círculo de radio a gira alrededor de un eje de su plano
a una distancia b del centro (b > a). Hállese su momento de inercia respecto al eje de revolución.
Si d(x,y,z) nos da la distancia de un punto (x,y,z), de la región R, a un recta ℓ, y δ(x,y,z) nos da la densidad
del sólido en cada punto, el momento de inercia del sólido respecto a ℓ es
Iℓ = (d(x,y,z)) 2 δ(x,y,z)dxdy dz
R
Supongamos ahora que el eje ℓ es OX; en este caso, la distancia de un punto al eje, coincide con la primera
coordenada cilíndrica del punto, es decir, d(r cos θ,r senθ,z) = r. Por tanto, la mejor forma de evaluar la integral
es efectuando el cambio a coordenadas cilíndricas y se tiene que:
IOX = r 3 δ(r cos θ,r sen θ,z)dr dθ dz
donde R ′ es la región R definida por coordenadas cilíndricas.
R ′
El toro descrito en el enunciado se define por coordenadas cilíndricas por: θ ∈ [0,2π], z ∈ [−a,a] y b− √ a 2 − z 2 ≤
r ≤ b + √ a 2 − z 2 . Por tanto, su momento de inercia respecto de OX es:
IOX =
a √
b+ a2−z2 2π
−a
b− √ a 2 −z 2
0
r 3 dθ dr dz =
=
a
a √
b+ a2−z2 −a
b− √ a 2 −z 2
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
−a
2πr 3 dr dz
(4π(b 3 − ba 2 ) a 2 − z 2 + 4πbz 2 a 2 − z 2 )dz = 2π 2 a 2 (b 3 − ba 2 ) + π2
2 a4 b