Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

El cuerpo de los números complejos 24
2. Supongamos que m = n; la integral correspondiente del apartado anterior se puede descomponer como sigue:
0 =
2π
0
e inx e −imx dx =
2π
0
((cos nxcos mx + sen nxsenmx) + i(sen nxcos mx − cos nxsen mx))dx (1.1)
Además, sustituyendo n por −n, deducimos la siguiente igualdad
0 =
2π
e
0
−inx e −imx 2π
dx =
0
Sumando las igualdades 1.1 y 1.2 obtenemos:
Por tanto, necesariamente:
2π
0
(cos nxcos mx − sen nxsenmx) + i(− sen nxcos mx − cos nxsen mx)dx (1.2)
0 =
2π
cos nxcos mxdx = 0
Sustituyendo estas igualdades en 1.1, obtenemos que
0
(2cos nxcos mx − 2icos nxsenmx)dx
2π
0
2π
sen nxsen mxdx = 0
0
cos nxsenmxdx = 0
Para las dos últimas igualdades del enunciado basta sustitur m por −n en la igualdad del primer apartado:
0 =
=
2π
e inx e inx dx =
2π
(cos nxcos nx − sen nxsennx) + i(sen nxcos nx − cos nxsennx)dx
0
2π
0
(cos
0
2 nx − sen 2 nx)dx (1.3)
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde