Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

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Capítulo 1 El cuerpo de los números complejos 1
El cuerpo de los números complejos 2 Problema 1 Hallar el módulo y el argumento de cada uno de los siguientes números: 3 + 4i; (3 + 4i) −1 ; (1 + i) 5 ; 7√ 3 + 4i; |3 + 4i| Recordemos que el recorrido considerado para la función arctg es (−π/2,π/2); además, esta función es impar y verifica la siguiente igualdad: arctg x + arctg 1 π = x 2 ✎ |3 + 4i| = √ 3 2 + 4 2 = 5 arg(3 + 4i) = arctg 4/3 ✎ Utilizamos el apartado anterior: |(3 + 4i) −1 | = |3 + 4i| −1 = 1/5 arg((3 + 4i) −1 ) = − arg(3 + 4i) = − arctg 4/3 ✎ Resolvemos este apartado de una forma alternativa utilizando la notación de Euler y la fórmula de Moivre (1 + i) 5 = ( √ 2( 1 √ + 2 1 √ i)) 2 5 = ( √ 2(cos π π + isen 4 4 ))5 = 4 √ 2(cos 5π 5π + isen 4 4 ) Por tanto, |(1 + i) 5 | = 4 √ 2 y arg(1 + i) 5 = 5π 4 Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
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