Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 174
Problema 93 Epicicloide. Cuando una circunferencia rueda sin deslizarse por el exterior de otra circunferencia
(por ejemplo cuando se gira una moneda sobre otra) cada punto P de la primera circunferencia describe una
curva llamada epicicloide. Supóngase que la circunferencia fija tiene radio a y su centro está en el origen de
coordenadas; supóngase también que la circunferencia móvil tiene radio b y que la posición inicial del punto P es
(a,0). Compruébese que las ecuaciones paramétricas de la epicicloide así descrita son
a + b
x(θ) = (a + b)cos θ − bcos θ
b
a + b
y(θ) = (a + b)sen θ − bsen θ
b
donde θ es el ángulo formado entre el eje OX y la línea que une los centros de ambas circunferencias. La figura 4.2
muestra algunos ejemplos de epicicloides.
Indicación: Hállese primero dónde se encuentra el centro de la circunferencia móvil. ¿Qué representa (a+b)θ/b?
la parte inferior de la figura 4.2 de la página 175 se observa como se describe un punto de la epicicloide. En primer
lugar observamos que aθ = bφ, ya que la circunferencia rueda sin deslizarse, y por tanto, φ = a
bθ. Por otra parte,
cuando la circunferencia móvil ha girado un ángulo θ, el centro de esta se encuentra en ((a + b)cos θ,(a + b)sen θ).
A partir de aquí, la figura nos ayuda a deducir que:
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
x(θ) = (a + b)cos θ − bcos(θ + φ)