Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series funcionales 122
Problema 63 Calcular las series de Fourier de las siguientes funciones de periodo 2π:
⎧
⎨−1
f(x) =
⎩1
en (−π,0)
;
en (0,π)
g(x) = |x| en [−π,π];
⎧
⎨0
h(x) =
⎩x
en [−π,0]
en (0,π)
La función f es impar y por tanto, an = 0 para todo n y;
bn = 2
π
π
0
f(x)sen nxdx = 2
π
De aquí se deduce que b2k = 0 y b2k+1 =
f(x) ∼
π
0
sen nxdx = 2
2
(1 − cos nπ) =
πn πn (1 − (−1)n )
4
, k ≥ 1:
π(2k + 1)
∞
k=0
g es una función par y por tanto, bn = 0 para todo n y:
a0 = 2
π
an = 2
π
π
0 π
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
0
4
sen(2k + 1)x
π(2k + 1)
g(x)dx = 2
π
π
g(x)cos nxdx = 2
π
0
xdx = π
π
0
xcos nxdx
= 2
2
πn2(cos nπ − 1) =
πn2((−1)n − 1)