Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

El cuerpo de los números complejos 21
Problema 14 Deducir las siguientes expresiones para las funciones inversas de las funciones hiperbólicas:
arg senh x = log(x + x 2 + 1) arg cosh x = log(x + x 2 − 1)
La función cosh no es inyectiva, ya que cosh x = cosh −x. Por lo tanto, la función arg cosh x podría tomar dos
valores para cada x; el valor que se considera en la definición de dicha función es el positivo. Por otra parte, si
la función la consideramos definida sobre los números complejos, las expresiones anteriores son válidas, pero los
posibles valores del logaritmo son infinitos; en este caso, la definición de las funciones inversas se hace tomando los
valores principales del logaritmo.
Deducir una expresión para la función arg cosh se reduce a despejar y en función de x en la expresión
e z + e −z
Multiplicando por 2e z , la igualdad anterior se convierte en la siguiente ecuación de segundo grado en e z :
2
= x
e 2z − 2e z x + 1 = 0
Cuyas soluciones son ez = 2x ± √ 4x2 − 4
= x±
2
√ x2 − 1. De donde obtenemos la solución propuesta en el enunciado:
arg cosh x = log(x + √ x2 − 1). Debemos observar que, efectivamente, la otra solución coincide con esta, pero con
signo contrario:
log(x − x2 − 1) = log x2 − (x2 − 1)
x + √ x2 − 1 = − log(x + x2 − 1)
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde