Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 78
2. Consideremos la serie
∞
(−1) n P(n)
donde P es un polinomio de grado p y Q un polinomio de grado q:
Q(n)
n=1
Si q − p ≥ 2 la serie converge absolutamente: ejercicio 41.
Si q − p ≤ 01 la serie diverge, ya que no verifica la condición necesaria.
Si q −p = 1 la serie converge
condicionalmente; esto se razona por el criterio de Leibniz: En primer lugar
observamos que lím
P(n)
Q(n) = 0; además, por ser cociente de polinomios, la función P ′ (x)/Q ′ (x) es positiva
o negativa en un intervalo [N,+∞) y por lo tanto, P(x)/Q(x) es creciente, y por lo tanto negativa, en
[N,+∞)
o es decreciente, y por lo tanto positiva, en [N,+∞); en cualquiera de los casos, la sucesion
P(n)
Q(n) es decreciente para n ≥ N.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde