Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 160
Problema 84 Hallar la longitud de la curva e t cos t √ t 3 + 1,2e t cos t √ t 3 + 1 sobre [0,1].
La curva está contenida en la recta Y = 2X. Por otra parte, la derivada de x,
x ′ (t) = e t
t3 + 1(cos t − sen t) + e t 3t
cos t
2
2 √ t3 + 1
es positiva en el intervalo [0,1] (obsérvese que todos los sumandos son positivos en este intervalo), y en consecuencia,
la función x es creciente en este intervalo. Por tanto, la curva es el segmento de la recta Y = 2X determinado por los
puntos (x(0),y(0)) y (x(1),y(1)), es decir, (1,2) y (e √ 2 cos 1,e √ 2cos 1), y la longitud es la distancia entre ambos:
(e √ 2 cos 1 − 1) √ 5.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde