Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 34
Problema 21 Utilizar el teorema de compresión para calcular los siguientes límites:
1. lím n!
nn
(n − 1)!
2. lím
(1 + √ 1)(1 + √ 2)... (1 + √ n)
1 1
1
3. lím
n2 +
(n + 1) 2 + · · · +
(n + n) 2
n
4. lím
n2 n
+
+ 1 n2 n
+ · · · +
+ 2 n2
+ n
Al aplicar el teorema de compresión, una de las dos acotaciones (la superior y la inferior) puede ser una constante;
en los tres primeros apartados de este ejercicio, la acotación inferior es la constante cero y por lo tanto, el trabajo
de acotación solo se hará para la cota superior.
1. 0 < n! 1 · 2 · · · (n − 1)n 1 · n · · · n · n 1
nn = < =
n · n · · · n · n n · n · · · n · n n
Dado que 1
n
n!
= 0, deducimos que lím
nn = 0.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde