Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 333
b)
c)
2x 2 − 3x + 3
x 3 − x 2 + x − 1 dx. El denominador se factoriza: x3 −x 2 +x−1 = (x−1)(x 2 +1). Dado que la multiplicidad
de las raíces es 1, usando o no el método de Hermite se obtiene la misma descomposición:
2x2 − 3x + 3
x3 − x2 A Bx + C
= +
+ x − 1 x − 1 x2 + 1 = (A + B)x2 + Cx − A
x3 − x2 + x − 1
Identificando coeficientes, hallamos fácilmente las constantes: A = 1, B = 1 y C = −2. Ya podemos resolver
la integral
1 x − 2
+
x − 1 x2
1 2x
dx = log |x − 1| +
+ 1
2 x2 1
− 2
+ 1 x2
dx
+ 1
= log |x − 1| + 1
2 log(x2 + 1) − 2arctg x
3x3 + 3x2 − 5x + 7
x4 dx. El denominador se factoriza:
− 1
x 4 − 1 = (x 2 − 1)(x 2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x 2 + 1);
nuevamente las raíces son simples y los dos métodos de descomposición coinciden:
3x 3 + 3x 2 − 5x + 7
x 4 − 1
= A B Cx + D
+ +
x − 1 x + 1 x2 + 1
Operando e identificando coeficientes, se calculan las constantes y se obtiene: A = 2, B = −3, C = 4 y
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde