Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series funcionales 129
Problema 67 Partiendo de la igualdad obtenida en el ejercicio anterior,
obtener
x 2 = π2
3
∞
+ 4 (−1)
ncos nx
n2 , x ∈ [−π,π]
n=1
x(x 2 − π 2 ) = 12
∞
n sen nx
(−1)
n3 , x ∈ [−π,π]
n=1
La función f definida como f(x) = x 2 si x ∈ [−π,π] y extendida por periodicidad a R, es continua y derivable
a trozos en R. Por tanto, podemos aplicar el teorema ??:
x 3
3 =
x
0
t 2 dt = π2
∞ 1 sen nx
x + 4 (−1)n
3 n n
n=1
2 = π2
Con unas simples manipulaciones algebraicas deducimos la igualdad pedida:
x(x 2 − π 2 ) = 12
∞
n sen nx
x + 4 (−1)
3 n3 n=1
∞
n sen nx
(−1)
n3 , x ∈ [−π,π]
n=1
Dado que el segundo miembro de esta última igualdad es una serie trigonométrica, podemos afirmar que es el
desarrollo en serie de Fourier de la función del primer miembro. Es decir, en este ejemplo, hemos podido usar el
teorema de integración de series de Fourier para obtener otro desarrollo de una forma más sencilla, pero el desarrollo
no corresponde a la primitiva de la función inicial.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde