Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 194
Problema 103 Hallar el área de las regiones que se indican usando integración en coordenadas polares:
La región acotada por r = 3 + 2cos θ.
La región acotada por una hoja de la rosa r = acos 2θ.
La región total interior a r 2 = a 2 sen 2θ.
La región del semiplano de la derecha limitada por r = asen θ/2.
La curva r = 3+2cos θ es un caracol de Pascal (ver figura 4.7, página 224). El área encerrada por la curva es:
2π
0
1
2 [r(θ)]2 dθ =
0
2π
0
1
2 (3 + 2cos θ)2 dθ =
11 1
θ + 6sen θ + sen 2θ
2 2
2π
0
= 11π
La curva r = acos 2θ se representa en el ejercicio anterior (ver página 192). El área de uno de los pétalos es:
π/4 1
2
2 [r(θ)]2 π/4
dθ = a 2 cos 2
2θ dθ = a 2 ( 1
π/4 1
θ + sen 4θ) =
2 8 π
8 a2
0
La curva r 2 = a 2 sen 2θ es la lemniscata de Bernouilli girada sobre el origen π/4 radianes, ya que: r 2 =
a 2 sen 2θ = a 2 cos(2(θ − π
4
4
)) (ver ejercicio 21). Por tanto, el área total de esta curva es:
π/2
π/4
1
2 [r(θ)]2 dθ = 2
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
π/2
π/4
a 2 sen 2θ dθ =
−a 2 cos 2θ
π/2
π/4
0
= a 2