Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Integración 395
c) Podemos repetir los mismos pasos del apartado anterior para deducir la igualdad:
para algún c1 ∈ [x0,x0 + h].
E(h) = − h3
12 f ′′ (c1)
Para justificar que podemos aplicar nuevamente el segundo teorema del valor medio, tendríamos que demostrar
la continuidad de la “función”g(t) = f ′′ (ξt). En general, g no tiene que ser ni siquiera función, ya que el teorema
del valor medio no asegura la unicidad de los puntos ξ. No obstante, sí se puede construir una función ξ(t)
continua sobre un intervalo y verificando tal propiedad; y a partir de ahí tomar g(t) = f ′′ (ξ(t)). La demostración
de este hecho es demasiado técnica y queda fuera del objetivo de este ejercicio.
d) En cada intervalo [xi−1,xi] hemos encontrado un ci de tal forma que el error total cometido por el método de
los trapecios es:
E = − h3
12
n
f ′′ (c1)
e) Sean M = máx{f ′′ (x);x ∈ [a,b]} y m = mín{f ′′ (x);x ∈ [a,b]}, entonces se verifica:
m = 1
n
n
i=1
m ≤ 1
n
n
i=1
i=1
f ′′ (ci) ≤ 1
n
n
M = M
Por la continuidad de f ′′ y el teorema de los valores intermedios, existe un c ∈ [a,b] tal que
n 1
f
n
′′ (ci) = f ′′ (c)
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
i=1
i=1