Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Cálculo en varias variables 264
Problema 135 La fuerza gravitacional ejercida sobre un objeto de masa m situado en el punto (x,y,z) por un
objeto de masa M situado en el origen es, por la ley de la gravitación universal,
F = GMm
r 3 r
donde r = xi + yj + zk y r = ||r||. Comprobar que R = −∇V para algún campo escalar V (V recibe el nombre
de potencial gravitacional) y comprobar también que F es ortogonal a las superficies de nivel de V . (Indicación:
comprobar primero que ∇(1/r) = −(1/r 3 )r).
La indicación nos dice quien es la función potencial; considerando
tenemos que:
f(r) = f(x,y,z) = − 1
r
1
= −
x2 + y2 + z2 D1f(x,y,z) = x(x 2 + y 2 + z 2 ) −3/2 = x
r 3
D2f(x,y,z) = y(x 2 + y 2 + z 2 ) −3/2 = y
r 3
D3f(x,y,z) = z(x 2 + y 2 + z 2 ) −3/2 = z
r 3
Por tanto, V (x,y,z) = − GMm √ . El hecho de que F = −∇V sea ortogonal a las superficies de nivel de V es una
x2 +y2 +z2 propiedad fundamental del vector gradiente.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde