Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Cálculo en varias variables 257
b) z = x/ x2 + y2 , (3, −4, 3
5 ). La superficie es la gráfica de la función f(x,y) =
Entonces ∇f(3, −4) = ( 9
125
D1f(x,y) =
x 2
(x 2 + y 2 ) 3/2
−12
9
, 125 ) y el vector ( 125
, −12
125
plano tangente y la recta normal son respectivamente:
9 12
3
(X − 3) − (Y + 4) − (Z − ) = 0
125 125 5
D2f(x,y) =
−xy
(x 2 + y 2 ) 3/2
x
x 2 + y 2 :
3
, −1) es perpendicular a la gráfica de f en (3, −4, 5 ); el
X − 3 = 9
125 λ
Y + 4 = − 12
125 λ
Z − 3
= −λ
5
c) z = (x + y)/(xy − 1), (1,2,3). La superficie es la gráfica de la función f(x,y) =
D1f(x,y) = − y2 + 1
(xy − 1) 2 D2f(x,y) = − x2 + 1
(xy − 1) 2
x + y
xy − 1 :
Entonces ∇f(1,2) = (5,2) y el vector (5,2, −1) es perpendicular a la gráfica de f en (1,2,3); el plano tangente
y la recta normal son respectivamente:
5(X − 1) + 2(Y − 2) − (Z − 3) = 0
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
X − 1 = 5λ
Y − 2 = 2λ
Z − 3 = −λ