Ejercicios resueltos de Cálculo - Universidad de Málaga

Sucesiones y series numéricas 96
log x
convergente a 0 y, además, es decreciente: basta observar que la función f(x) = es decreciente en [3, ∞)
x
ya que f ′ 1 − log x
(x) =
x2 < 0 en ese intervalo; por lo tanto, el criterio de Leibniz, permite afirmar que la serie
es condicionalmente convergente.
5.
1 1
− . La serie
n n!
1
n es divergente y la serie 1
es convergente (ejercicio 45(9) para x = 1);
n!
entonces, según se establece en el ejercicio 40, la serie propuesta es divergente.
6. n (n!)2
(−1)
(2n)!
es absolutamente convergente: ver ejercicio 45(10).
7. n!
(−2) n es divergente, ya que no verifica la condición necesaria (hacemos uso de la fórmula de Stirling):
lím n!
2n = lím e−nnn√2πn 2n = lím √ n n
2πn = +∞
2e
y por lo tanto, el límite lím n!
(−2) n no existe.
8. (−1) n
√ n + √ n + 1 es condicionalmente convergente. La serie de valores absolutos tiene el mismo carácter que
1
√n , que es divergente, pero la serie propuesta verifica las condiciones del criterio de Leibniz: las sucesiones
√ n y √ n + 1 son crecientes y divergentes a infinito, y por lo tanto,
a 0.
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
1
√ n + √ n + 1 es decreciente y convergente