Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

82 3 Teoría de Campos con ligaduras no-holonómicas. Enfoque k-simpléctico.
(ii) una subvariedad de ligaduras M ↩→ T 1 k Q;
(iii) un fibrado F de formas de ligadura y la distribución de ligaduras inducida S,
ambos objetos definidos a lo largo de M.
Para completar nuestro modelo de teoría lagrangiana de campos no-holonómicos
tenemos que especificar las ecuaciones de campo. Comenzaremos esta subsección
introduciendo una generalización del principio de dÁlembert que nos permite obtener
dichas ecuaciones.
A. El principio de dÁlembert.
Binz et al en [9] obtienen las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange no-holonómicas,
en el contexto multisimpléctico, a partir de un principio variacional.
Ahora procedemos de un modo análogo para obtener las ecuaciones de campo
de Euler-Lagrange no-holonómicas.
Recordemos que en la sección 1.2.4.B demostramos que, en el contexto sin ligaduras,
una aplicación φ : U0 ⊂ Rk → Q es un extremal de la acción
J(φ) = (L ◦ φ (1) (t))d k t
R k
si, y sólo si,
Rk ((LZCL) ◦ φ (1) )(t)d k t = 0
para todo campo de vectores Z en Q cuyo flujo σs verifique σs(q) = q para todo q
en la frontera de φ(U0).
Ahora, considerando ligaduras introducimos la siguiente definición:
Definición 3.2 Una aplicación φ : U0 ⊂ Rk → Q con soporte compacto, definida en
un conjunto abierto U0 ⊂ Q, es una solución del problema con ligaduras, que
estamos considerando, si φ (1) (U0) ⊂ M y
(LZCL) ◦ φ (1) (t)d k t = 0 ,
U0
para cada campo de vectores Z en Q que se anule en la frontera de φ(U0) y tal que
para cada η ∈ F .
ı Z Cη = 0 (3.5)